Der Münzwurf



Aufgabenstellung

Für eine faire Münze ergeben sich für Kopf und für Zahl jeweils eine Wahrscheinlichkeit von p=0.5 oder anders ausgedrückt: p=50%.

  1. Abhängigkeit von Anzahl der Würfe n
    Probieren sie aus, wie nahe sie diesen Wahrscheinlichkeiten kommen, wenn sie unterschiedlich oft die Münze werfen.
    1. Hierfür wählen sie im Drop-Down-Menü links die 1 bei Anzahl der Würfe aus und klicken auf + 1 neuer Versuch.
    2. Schauen sie sich die relativen Häufigkeiten im Reiter Plot (oben) an.
    3. Wählen sie nun 10 Würfe bei Anzahl der Würfe aus und führen wiederum einen neuen Versuch aus indem sie den Button + 1 neuer Versuch aktivieren.
    4. Wiederholen sie diesen Vorgang für weitere Anzahlen von Würfen (z.B. 20, 100, 1.000, 10.000 und 100.000).
  2. Abhängigkeit von Anzahl der Versuche m
    Gibt es Unterschiede wenn je Wurfanzahl mehrere Versuche durchgeführt werden? Sind die Resultate identisch, wenn sich die Anzahl der Würfe erhöht?
    1. Wählen sie hierfür wieder 10 bei Anzahl der Würfe aus und wiederholen den Versuch dieses Mal ein paar mal in dem sie mehrmals den Button + 1 neuer Versuch aktivieren.
    2. Wählen sie nun 100 bei Anzahl der Würfe aus und wiederholen sie den Versuch ebenfalls mehrmals. Alternativ können sie auch gleich den + 100 neue Versuche-Button nutzen.
    3. Wiederholen sie das ganze für weitere Anzahlen von Würfen und beantworten die in 2) genannten Fragen.
  3. Reicht 100 Mal werfen aus, um eine Wahrscheinlichkeit von exakt 0.5 (bzw 50%) zu bekommen?
  4. Gibt es eine endliche Anzahl an Würfen bei denen die relative Häufigkeit für Kopf sicher p=0.5 ist?
  5. Interpretieren sie ihre erzielten Ergebnisse und versuchen sie die Resultate mit dem Gesetz der großen Zahlen in Verbindung zu bringen.

    Gesetz der großen Zahlen: $$\text{Pr} \{ \left| \frac{a}{n} - \text{Pr} \{ E \} \right| \ \geq \epsilon \} \to 0, \text{wenn} \, n \to \infty $$

Aufgabenstellung "Münzwurf"

Für eine faire Münze ergeben sich für Kopf und für Zahl jeweils eine Wahrscheinlichkeit von p=0.5 oder anders ausgedrückt: p=50%.

  1. Abhängigkeit von Anzahl der Würfe n
    Probieren sie aus, wie nahe sie diesen Wahrscheinlichkeiten kommen, wenn sie unterschiedlich oft die Münze werfen.
    1. Hierfür wählen sie im Drop-Down-Menü links die 1 bei Anzahl der Würfe aus und klicken auf + 1 neuer Versuch.
    2. Schauen sie sich die relativen Häufigkeiten im Reiter Plot (oben) an.
    3. Wählen sie nun 10 Würfe bei Anzahl der Würfe aus und führen wiederum einen neuen Versuch aus indem sie den Button + 1 neuer Versuch aktivieren.
    4. Wiederholen sie diesen Vorgang für weitere Anzahlen von Würfen (z.B. 20, 100, 1.000, 10.000 und 100.000).
  2. Abhängigkeit von Anzahl der Versuche m
    Gibt es Unterschiede wenn je Wurfanzahl mehrere Versuche durchgeführt werden? Sind die Resultate identisch, wenn sich die Anzahl der Würfe erhöht?
    1. Wählen sie hierfür wieder 10 bei Anzahl der Würfe aus und wiederholen den Versuch dieses Mal ein paar mal in dem sie mehrmals den Button + 1 neuer Versuch aktivieren.
    2. Wählen sie nun 100 bei Anzahl der Würfe aus und wiederholen sie den Versuch ebenfalls mehrmals. Alternativ können sie auch gleich den + 100 neue Versuche-Button nutzen.
    3. Wiederholen sie das ganze für weitere Anzahlen von Würfen und beantworten die in 2) genannten Fragen.
  3. Reicht 100 Mal werfen aus, um eine Wahrscheinlichkeit von exakt 0.5 (bzw 50%) zu bekommen?
  4. Gibt es eine endliche Anzahl an Würfen bei denen die relative Häufigkeit für Kopf sicher p=0.5 ist?
  5. Interpretieren sie ihre erzielten Ergebnisse und versuchen sie die Resultate mit dem Gesetz der großen Zahlen in Verbindung zu bringen.

    Gesetz der großen Zahlen: $$\text{Pr} \{ \left| \frac{a}{n} - \text{Pr} \{ E \} \right| \ \geq \epsilon \} \to 0, \text{wenn} \, n \to \infty $$

Anleitung und Hilfe

Hier werden die Würfe einer fairen Münze bestehend aus Kopf und Zahl simuliert und die jeweiligen relativen Häufigkeiten in Abhängigkeit von der Anzahl der Würfe n und in Abhängigkeit von der Anzahl der Versuche m dargestellt. Hierzu kann der Anwender auf dem linken Panel unterschiedliche Optionen auswählen. Diese werden dann bearbeitet und auf dem rechten Panel visualisiert. Um zur Visualisierung zu gelangen, klicken Sie oben einfach auf den Reiter Plot. Die Visualsierungen werden erst sichtbar, sobald mindestens 1 Wurfversuch unternommen wurde. Hierzu klicken Sie bitte auf + 1 neuer Versuch.

Eingabe - Linkes Panel

Zunächst wird die Anzahl der Würfe die während eines Versuchs unternommen werden ausgewählt. Bei einer Anzahl von 1 wird die Münze während des Versuchs nur einmal geworfen, bei 2 zweimal, bei 100 hundert Mal und so weiter. Um den Versuch auszuführen, muss der Button + 1 neuer Versuch ausgeführt werden um so die Würfe der Münze zu simulieren. Um die Ergebnisse einordnen zu können ist es von Vorteil im weiteren Verlauf der Anwendung nicht nur einen weiteren Versuch zu unternehmen, sondern gleich mehrere. Hierzu dient der + 100 neue Versuche-Button.

Mithilfe der Option Wahrscheinlichkeiten können zusätzlich die zu erwartenden Wahrscheinlichkeiten dargestellt werden. Der Button Zurücksetzen löscht die Aufzeichnung aller Versuche und setzt alle getätigten Würfe zurück.

Ausgabe - Rechtes Panel

Dargestellt werden 2 Grafiken sobald mindestens ein Versuch durchgeführt wurde. Beachten Sie, dass ein Versuch einen Wurf oder auch z.B. 100.000 Würfen beinhalten kann, wenn dies mittels der Eingabe-Funktion Anzahl Würfe so angegeben wurde.

Auf der linken Abbildung ist ein Balkendiagramm dargestellt, welches die relative Häufigkeit von Kopf und Zahl im letzten durchgeführten Versuch zeigt. Die relativen Häufigkeiten (y-Achse) gehen dabei von 0 (bzw. 0%, gar nicht aufgetreten) bis zu 1 (bzw. 100%, nur aufgetreten).

Auf der rechten Abbildung ist die relative Häufigkeit für Kopf (y-Achse) in Abhängigkeit der Anzahl der Würfe (x-Achse) aufgetragen. Dabei repräsentiert jeder grüne Punkt die relative Häufigkeit eines jeden Versuchs in der gewählten Wurfzahl-Kategorie. Der blau umrandete Punkt stellt hier den letzten ausgeführten Versuch dar. Alle Versuche werden gespeichert und aufgetragen solange bis der Zurücksetzen-Button aktiviert wird.

Zusätzlich wird auf dem linken Panel angezeigt, wieviele Versuche schon durchgeführt wurden und wie hoch die relative Häufigkeit für Kopf im letzten durchgeführten Versuch gewesen ist.

Aufgaben-Panel

Zusätzlich zum Reiter Aufgabenstellung kann die Aufgabenstellung in einem separaten Fenster dargestellt werden. Dieses Fenster ist frei beweglich und kann mit der Maus (via Drag & Drop) zur gewünschten Position verschoben werden. Ein- bzw. ausgeblendet wird das zusätzliche Fenster im Reiter Aufgabenstellung.

Weitere Informationen



Copyright (C) 2019 Andy Richling

Ein Würfel



Aufgabenstellung

Für einen fairen, 6-seitigen Würfel ergeben sich für das Auftreten der Augenzahlen jeweils eine Wahrscheinlichkeit von p=1/6.

  1. Probieren Sie aus, wie nahe Sie diesen Wahrscheinlichkeiten kommen, wenn Sie den Würfel unterschiedlich oft nacheinander würfeln, in dem Sie die Anzahl der Würfe sukzessive von 1 auf 100.000 Mal erhöhen.
    1. Hierfür klicken Sie nur einmal auf Neu würfeln und schauen sich die relativen Häufigkeiten im Reiter Plot (oben) an.
    2. Variieren Sie anschließend im Menü links die Anzahl der Würfe ohne jedoch neu zu würfeln.
  2. Welche Schlussfolgerungen können Sie bzgl. der relativen Häufigkeiten schließen, wenn die Anzahl der Würfe zunimmt?
  3. Wählen sie 100.000 Würfe aus und würfeln sie den gesamten Satz neu indem sie den Button Neu würfeln aktivieren und schauen Sie sich anschließend wiederum die relativen Häufigkeiten in Abhängigkeit von der Anzahl der Würfe an. Sind die resultierenden relativen Häufigkeiten identisch mit denen, die Sie im vorherigen Versuch erreicht haben? Gibt es dort Unterschiede wenn sich die Anzahl der Würfe erhöht?
  4. Reicht 100 Mal würfeln aus, um die jeweiligen Wahrscheinlichkeit von exakt 1/6 zu bekommen?
  5. Gibt es eine endliche Anzahl an Würfen bei denen die relative Häufigkeit für alle Augenzahlen jeweils sicher bei p=1/6 ist?

Aufgabenstellung "Ein Würfel"

Für einen fairen, 6-seitigen Würfel ergeben sich für das Auftreten der Augenzahlen jeweils eine Wahrscheinlichkeit von p=1/6.

  1. Probieren Sie aus, wie nahe Sie diesen Wahrscheinlichkeiten kommen, wenn Sie den Würfel unterschiedlich oft nacheinander würfeln, in dem Sie die Anzahl der Würfe sukzessive von 1 auf 100.000 Mal erhöhen.
    1. Hierfür klicken Sie nur einmal auf Neu würfeln und schauen sich die relativen Häufigkeiten im Reiter Plot (oben) an.
    2. Variieren Sie anschließend im Menü links die Anzahl der Würfe ohne jedoch neu zu würfeln.
  2. Welche Schlussfolgerungen können Sie bzgl. der relativen Häufigkeiten schließen, wenn die Anzahl der Würfe zunimmt?
  3. Wählen sie 100.000 Würfe aus und würfeln sie den gesamten Satz neu indem sie den Button Neu würfeln aktivieren und schauen Sie sich anschließend wiederum die relativen Häufigkeiten in Abhängigkeit von der Anzahl der Würfe an. Sind die resultierenden relativen Häufigkeiten identisch mit denen, die Sie im vorherigen Versuch erreicht haben? Gibt es dort Unterschiede wenn sich die Anzahl der Würfe erhöht?
  4. Reicht 100 Mal würfeln aus, um die jeweiligen Wahrscheinlichkeit von exakt 1/6 zu bekommen?
  5. Gibt es eine endliche Anzahl an Würfen bei denen die relative Häufigkeit für alle Augenzahlen jeweils sicher bei p=1/6 ist?

Anleitung und Hilfe

Hier werden die Würfe eines fairen 6-seitigen Würfels bestehend aus den Augenzahlen 1 bis 6 simuliert und die jeweiligen relativen Häufigkeiten in Abhängigkeit von der Anzahl der Würfe dargestellt. Hierzu kann der Anwender auf dem linken Panel unterschiedliche Optionen auswählen. Diese werden dann bearbeitet und auf dem rechten Panel mittels 2 Grafiken visualisiert. Um zur Visualisierung zu gelangen, klicken sie oben einfach auf den Reiter Plot. Die Visualsierungen werden erst sichtbar, sobald mindestens 1 Wurfversuch unternommen wurde. Hierzu klicken sie bitte auf Neu würfeln.

Eingabe - Linkes Panel

Im Gegensatz zum Münzwurf-Beispiel kann die Anzahl der Würfe während des getätigten Versuchs fortlaufend ausgewählt werden, ohne das dazwischen neu gewürfelt wird. Mit anderen Worten bedeutet dies, dass der Würfel beim Aktivieren des Neu würfeln-Buttons zunächst 100.000 mal geworfen wird und man im Nachhinein mittels der Auswahloption Anzahl Würfe zwischen den Anzahlen der Würfe hin und her wechseln kann, so dass der Verlauf der Würfe dargestellt wird. Bei einer Anzahl von z.B. 1 werden die relativen Häufigkeiten der geworfenen Augenzahlen (1-6) nach dem ersten Wurf dargestellt, bei 2 nach den ersten beiden Würfen, bei 100 nach den ersten 100 Würfen und so weiter. Beachte, dass in diesem Fall die Würfe untereinander abhängig sind. Erst wenn der Button Neu würfeln aktiviert wird, werden die 100.000 Würfelwürfe neu simuliert.

Mithilfe der Option Wahrscheinlichkeiten können zusätzlich die zu erwartenden Wahrscheinlichkeiten dargestellt werden.

Ausgabe - Rechtes Panel

Dargestellt werden 2 Abbildungen sobald mindestens einmal neu gewürfelt wurde. Beachte, dass hier der Verlauf von 100.00 Würfen abgebildet wird und je nach Auswahl der Eingabe-Funktion Anzahl Würfe die bis zu dieser Anzahl durchgeführten Würfe als Basis der Analyse dienen.

Auf der linken Abbildung ist ein Balkendiagramm dargestellt, welches die relative Häufigkeit der Augenzahlen (1-6) in Abhängigkeit der ausgewählten Anzahl der Würfe darstellt. Die relativen Häufigkeiten (y-Achse) gehen dabei von 0 (bzw. 0%, gar nicht aufgetreten) bis zu 1 (bzw. 100%, nur aufgetreten).

Auf der rechten Abbildung ist die relative Häufigkeit der einzelnen Augenzahlen (y-Achse) in Abhängigkeit von der Anzahl der Würfe (x-Achse) aufgetragen. Dabei repräsentieren die farbigen Punkte die relativen Häufigkeiten der Augenzahlen in Abhängigkeit der ausgewählten Anzahl der Würfe. Die farbigen Linien zeigen den Verlauf der relativen Häufigkeiten an.

Aufgaben-Panel

Zusätzlich zum Reiter Aufgabenstellung kann die Aufgabenstellung in einem separaten Fenster dargestellt werden. Dieses Fenster ist frei beweglich und kann mit der Maus (via Drag & Drop) zur gewünschten Position verschoben werden. Ein- bzw. ausgeblendet wird das zusätzliche Fenster im Reiter Aufgabenstellung.

Weitere Informationen



Copyright (C) 2019 Andy Richling

Zwei Würfel



Aufgabenstellung

Im Vergleich zum Wurf mit einem Würfel, ergeben sich für die Summe der Augenzahlen aus zwei fairen, 6-seitigen Würfeln unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten. So kann zum Beispiel mit mehreren Kombinationen die Zahl 7 geworfen werden, wohingegen die 2 nur mit einer einzigen Kombination möglich ist.

  1. Bestimmen Sie zunächst per Hand für alle möglichen Augenzahlsummen (aus beiden Würfeln) die zu erwartenden Wahrscheinlichkeiten.
  2. Probieren Sie aus, wie nahe Sie diesen Wahrscheinlichkeiten kommen, wenn Sie das Würfelpaar unterschiedlich oft hintereinander würfeln, in dem Sie die Anzahl der Würfe sukzessive von 1 auf 100.000 Mal erhöhen.
    1. Hierfür schauen Sie sich die relativen Häufigkeiten im Reiter Plot (oben) an.
    2. Variieren Sie anschließend im Menü links die Anzahl der Würfe ohne jedoch neu zu würfeln.
  3. Welche Schlussfolgerungen können Sie bzgl. der relativen Häufigkeiten schließen, wenn die Anzahl der Würfe zunimmt?
  4. Wählen Sie 100.000 Würfe aus und würfeln Sie den gesamten Satz neu indem Sie den Button Neu würfeln aktivieren und schauen Sie sich anschließend wiederum die relativen Häufigkeiten in Abhängigkeit von der Anzahl der Würfe an. Sind die resultierenden relativen Häufigkeiten identisch mit denen, die Sie im vorherigen Versuch erreicht haben? Gibt es dort Unterschiede wenn sich die Anzahl der Würfe erhöht?
  5. Reicht 100 Mal würfeln aus, um die jeweiligen Wahrscheinlichkeit zu bekommen?
  6. Gibt es eine endliche Anzahl an Würfen bei denen die relative Häufigkeit für alle Augenzahlen jeweils sicher bei ihren zu erwartenden Wahrscheinlichkeiten ist?

Aufgabenstellung "Zwei Würfel"

Im Vergleich zum Wurf mit einem Würfel, ergeben sich für die Summe der Augenzahlen aus zwei fairen, 6-seitigen Würfeln unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten. So kann zum Beispiel mit mehreren Kombinationen die Zahl 7 geworfen werden, wohingegen die 2 nur mit einer einzigen Kombination möglich ist.

  1. Bestimmen Sie zunächst per Hand für alle möglichen Augenzahlsummen (aus beiden Würfeln) die zu erwartenden Wahrscheinlichkeiten.
  2. Probieren Sie aus, wie nahe Sie diesen Wahrscheinlichkeiten kommen, wenn Sie das Würfelpaar unterschiedlich oft hintereinander würfeln, in dem Sie die Anzahl der Würfe sukzessive von 1 auf 100.000 Mal erhöhen.
    1. Hierfür schauen Sie sich die relativen Häufigkeiten im Reiter Plot (oben) an.
    2. Variieren Sie anschließend im Menü links die Anzahl der Würfe ohne jedoch neu zu würfeln.
  3. Welche Schlussfolgerungen können Sie bzgl. der relativen Häufigkeiten schließen, wenn die Anzahl der Würfe zunimmt?
  4. Wählen Sie 100.000 Würfe aus und würfeln Sie den gesamten Satz neu indem Sie den Button Neu würfeln aktivieren und schauen Sie sich anschließend wiederum die relativen Häufigkeiten in Abhängigkeit von der Anzahl der Würfe an. Sind die resultierenden relativen Häufigkeiten identisch mit denen, die Sie im vorherigen Versuch erreicht haben? Gibt es dort Unterschiede wenn sich die Anzahl der Würfe erhöht?
  5. Reicht 100 Mal würfeln aus, um die jeweiligen Wahrscheinlichkeit zu bekommen?
  6. Gibt es eine endliche Anzahl an Würfen bei denen die relative Häufigkeit für alle Augenzahlen jeweils sicher bei ihren zu erwartenden Wahrscheinlichkeiten ist?

Anleitung und Hilfe

Hier werden die Würfe von zwei fairen 6-seitigen Würfeln, jeweils bestehend aus den Augenzahlen 1 bis 6, simuliert und die Summe beider Würfel als relative Häufigkeiten in Abhängigkeit von der Anzahl der Würfe dargestellt. Dieses Anwendungsbeispiel ist im Grunde analog zu dem Ein-Würfel-Beispiel, welches jedoch im Gegensatz dazu mit 2 Würfeln parallel durchgeführt wird und die Augenzahl beider Würfel addiert. Hierzu kann der Anwender auf dem linken Panel unterschiedliche Optionen auswählen. Diese werden dann bearbeitet und auf dem rechten Panel visualisiert. Um zur Visualisierung zu gelangen, klicken sie oben einfach auf den Reiter Plot.

Eingabe - Linkes Panel

Die Eingabe-Optionen sind zu denen aus dem Ein-Würfel-Beispiel analog. Auch hier kann die Anzahl der Würfe während des getätigten Versuchs fortlaufend ausgewählt werden, ohne das dazwischen neu gewürfelt wird. Mit anderen Worten bedeutet dies, dass beide Würfel beim Aktivieren des Neu würfeln-Buttons zunächst parallel jeweils 100.000 mal geworfen werden und man im Nachhinein mittels der Auswahloption Anzahl Würfe zwischen den Anzahlen der Würfe hin und her wechseln kann, so dass der Verlauf der Würfe dargestellt wird. Bei einer Anzahl von z.B. 1 werden die relativen Häufigkeiten der geworfenen Augenzahlen (2-12, Summe aus beiden Würfeln) nach dem ersten Wurf-Paar dargestellt, bei 2 nach den ersten beiden Wurf-Paaren, bei 100 nach den ersten 100 Wurf-Paaren und so weiter. Beachten Sie, dass in diesem Fall die Würfe untereinander abhängig sind. Erst wenn der Button Neu würfeln aktiviert wird, werden die 100.000 Würfelpaar-Würfe neu simuliert.

Mithilfe der Option Wahrscheinlichkeiten können zusätzlich die zu erwartenden Wahrscheinlichkeiten dargestellt werden.

Ausgabe - Rechtes Panel

Auf der Abbildung ist ein Balkendiagramm dargestellt, welches die relative Häufigkeit der Augenzahlen (2-11, Summe beider Würfel) in Abhängigkeit der ausgewählten Anzahl der Würfe darstellt. Die relativen Häufigkeiten (y-Achse) gehen dabei von 0 (bzw. 0%, gar nicht aufgetreten) bis zu 1 (bzw. 100%, nur aufgetreten).

Aufgaben-Panel

Zusätzlich zum Reiter Aufgabenstellung kann die Aufgabenstellung in einem separaten Fenster dargestellt werden. Dieses Fenster ist frei beweglich und kann mit der Maus (via Drag & Drop) zur gewünschten Position verschoben werden. Ein- bzw. ausgeblendet wird das zusätzliche Fenster im Reiter Aufgabenstellung.

Weitere Informationen



Copyright (C) 2019 Andy Richling