Aufgabenstellung

Mithilfe der App soll die allgemeine Bestimmung und Funktionsweise von Konfidenzintervallen am Beispiel des Mittelwert-Schätzers verdeutlicht werden. Sowohl Unterschiede in den Annahmen zur Berechnung der Konfidenzintervalle als auch Variationen des Konfidenzniveaus werden sofort in den Grafiken veranschaulicht.

1. Mittelwert-Schätzer unter der Annahme einer Normalverteilung mit bekannter Varianz
1. Generieren Sie zunächst eine Stichprobe mit der Stichprobengröße "10" im linken Panel (dies kann einige Sekunden dauern).
2. Wählen Sie im linken Panel darunter das "90%-"Konfidenzniveau aus und nehmen Sie eine "Normalverteilung mit bekannter Varianz" an.
3. Als nächstes soll der wahre Erwartungswert μ mithilfe des arithmetischen Mittels aus der aktuellen Stichprobe geschätzt werden. Zusätzlich wird das zugehörige Konfidenzintervall bestimmt. Versuchen Sie die Bestimmung des Konfidenzintervalls für den Mittelwert-Schätzer aus der aktuellen Stichprobe nachzuvollziehen. Befindet sich der wahre Erwartungswert innerhalb oder außerhalb des Konfidenzintervalls?
4. Wenn Sie nun 1000 Stichproben generieren, wie oft würden Sie erwarten, dass sich der wahre Erwartungswert μ innerhalb der zugehörigen Konfidenzintervalle befindet? Generieren Sie hierfür nun 1000 Stichproben in dem Sie auf den 1000-Stichproben generieren-Button unter der letzten Abbildung klicken. Hier wird nun für jede der 1000 generierten Stichproben das arithmetische Mittel mit zugehörigem Konfidenzintervall berechnet und angezeigt.
5. Zählen bzw. lesen Sie ab, in wie vielen Fällen sich der wahre Erwartungswert μ innerhalb/außerhalb der Konfidenzintervalle der 1000 Stichproben befindet. Nutzen Sie hierfür auch den Schieberegler unter der letzten Abbildung für unterschiedliche Darstellungsgrößen. Stimmt das Ergebnis mit ihren Erwartungen überein?
6. Suchen Sie sich Fälle heraus, in denen sich der Erwartungswert μ außerhalb des Konfidenzintervalls befindet. Versuchen Sie nachzuvollziehen, warum dies so ist. Nutzen Sie hierfür den Schieberegler unter den ersten beiden Abbildungen.
7. Probieren Sie nun die übrigen Konfidenzniveaus (z.B. "95%" und "99%") mithilfe des linken Panels aus. Was erwarten Sie?
2. Mittelwert-Schätzer unter der Annahme einer Normalverteilung mit unbekannter Varianz
   In der Praxis ist die Varianz jedoch nicht bekannt, so dass die Varianz zunächst mithilfe der Stichprobenvarianz geschätzt werden muss.
1. Wählen Sie für diesen Fall im linken unteren Panel unter Verteilungsannahme "normalverteilt und geschätzte Varianz aus Stichprobe" aus. Generieren Sie jedoch keine neuen Stichproben!
2. Versuchen Sie wiederum die Bestimmung der Konfidenzintervalle nachzuvollziehen. Was ändert sich im Gegensatz zum ersten Fall mit der Annahme, dass die Varianz bekannt ist?
3. In wie vielen Fällen befindet sich diesmal der wahre Erwartungswert innerhalb der Konfidenzintervalle? Probieren Sie alle Konfidenzniveaus aus.
3. Mittelwert-Schätzer unter der Annahme einer t-Verteilung
   Für genügend große Stichprobengrößen N nähert sich die Verteilung des Mittelwert-Schätzers einer Normalverteilung an. Für kleine Stichprobengrößen N folgt die Verteilung des Mittelwert-Schätzers jedoch einer t-Verteilung mit df = N - 1 Freiheitsgraden.
1. Wählen Sie für diesen Fall im linken unteren Panel unter Verteilungsannahme "t-verteilt" aus. Generieren Sie jedoch keine neuen Stichproben!
2. Versuchen Sie wiederum die Bestimmung der Konfidenzintervalle nachzuvollziehen. Was ändert sich im Gegensatz zu den ersten beiden Fällen?
3. In wie vielen Fällen befindet sich diesmal der wahre Erwartungswert innerhalb der Konfidenzintervalle? Probieren Sie alle Konfidenzniveaus aus.
4. Einfluss der Stichprobengröße N
   Probieren Sie nun unterschiedliche Stichprobengrößen N aus und werten Sie das Verhalten der Konfidenzintervalle für alle 3 Fälle der Verteilungsannahme systematisch aus.
1. Wiederholen Sie die ersten drei Aufgaben, nachdem Sie neue Stichproben generiert haben. Prüfen sie das Verhalten der Konfidenzintervalle für alle 3 Fälle. Wiederholen Sie den Vorgang mehrmals um ein robustes Ergebnis zu erhalten.
2. Wiederholen Sie dies nun für unterschiedliche Stichprobengrößen N. Bleibt das Verhalten gleich, oder ändert sich das Verhalten mit der Stichprobengröße? Bitte begründen Sie! Wiederholen Sie den Vorgang für eine Stichprobengröße N ebenfalls mehrmals um ein robustes Ergebnis zu erhalten.

Anleitung und Hilfe

Eingabe - Linkes Panel

Das linke obere Panel dient ausschließlich zur zufälligen Generierung der Stichproben. Dort können die Stichprobengröße N sowie die Verteilungsparameter (Erwartungswert μ und Standardabweichung σ) der Zufallsvariable aus denen die Stichprobe generiert werden soll, ausgewählt werden. Nach Betätigung des Generieren-Buttons wird zufällig die Stichprobe generiert.

Nach erstmaliger Betätigung des Generieren-Buttons erscheint links unter dem obigen Panel ein weiteres Panel. Dort können unterschiedliche Konfidenzintervalle sowie die Verteilung des Mittelwert-Schätzers ausgewählt werden.

Ausgabe - Rechtes Panel

Nach Betätigung des Generieren-Buttons wird im Reiter Plot die Berechnung des Konfidenzintervalls auf Basis der ausgewählten Parameter beschrieben. Zusätzlich werden im selben Panel die Werte der generierten Stichprobe inkl. Stichprobenmittelwert (linke Abbildung) sowie das abgeleitete Konfidenzintervall (rechte Abbildung) grafisch dargestellt. Darüber hinaus wird auf beiden Abbildungen der wahre Erwartungswert (rot) eingeblendet. Nachdem weitere Stichproben generiert wurden (1000 Wiederholungen generieren, siehe unten), kann die Berechnung für jede generierte Stichprobe unterhalb der Abbildungen ausgewählt werden.

Im unteren Panel wird der Mittelwert (Punkt) sowie das dazugehörige Konfidenzintervall (Linie) der aktuellen Stichprobe abgebildet. Darüber hinaus wird der wahre Erwartungswert (rot) dargestellt. Zusätzlich können nun weitere Stichproben generiert (1000 Wiederholungen generieren) werden. Die Konfidenzintervalle aller Stichproben werden dort ebenfalls abgebildet, wobei farblich hervorgehoben wird, ob sich der wahre Erwartungswert μ innerhalb oder außerhalb des ausgewählten Konfidenzintervalls befindet. Zur besseren Übersicht kann der Bereich der abgebildeten Stichproben unter der Abbildung festgelegt werden.

Aufgaben-Panel

Zusätzlich zum Reiter Aufgabenstellung kann die Aufgabenstellung in einem separaten Fenster dargestellt werden. Dieses Fenster ist frei beweglich und kann mit der Maus (via Drag & Drop) zur gewünschten Position verschoben werden. Ein- bzw. ausgeblendet wird das zusätzliche Fenster im Reiter Aufgabenstellung.

Weitere Informationen

• Weitere allgemeine Informationen zu Konfidenzintervallen sowie eine gut nachvollziehbare Einführung sind auf der Webseite des FUB E-Learning Projekts SOGA (https://www.geo.fu-berlin.de/en/v/soga/Basics-of-statistics/Inferential-Statistics/index.html; Hartmann, K., Krois, J., Waske, B. (2018): E-Learning Project SOGA: Statistics and Geospatial Data Analysis. Department of Earth Sciences, Freie Universitaet Berlin.) vorhanden. Dies beinhaltet auch die Anwendung mit R.
• Vorlesungsskript (Kapitel 3) Angewandte Statistik (Henning Rust)

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